Вопросы по курсу УМФ –

1 семестр (1-16)

2 семестр (1-28)

1. Понятие уравнения с частными производными и его решения. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Замена переменных в уравнении с ЧП. Инвариантность типа уравнения с ЧП при замене переменных.
2. Постановка задач уравнений математической физики. Задача Коши. Краевые задачи (1, 2, и 3 рода). Смешанные задачи.
3. Понятие характеристики уравнения с частными производными 2-го порядка и характеристического уравнения. Приведение к каноническому виду уравнения гиперболического типа.
4. Волновое уравнение: одномерное, на плоскости, в пространстве. Постановка задач.
5. Уравнение теплопроводности: одномерное, на плоскости, в пространстве. Постановка задач.
6. Канонический вид для уравнений эллиптического и параболического типа. Постановка задач для эллиптического и параболического уравнений.
7. Начальные и краевые условия для задач для волнового уравнения.
8. Начальные и краевые условия для задач для уравнения теплопроводности.
9. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера. Характеристики, фазовая плоскость.
10. Смешанная задача для волнового уравнения  на полупрямой. Метод продолжения.
11. Краевая задача для волнового уравнения. Применение метода продолжения для её решения характеристиками, при помощи формулы Даламбера.
12. Единственность решения 1-й краевой задачи для волнового уравнения.
13. Построение решения  краевых задач для однородного волнового уравнения методом Фурье.
14. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные числа и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля, их основные свойства.
15. Сведение неоднородных краевых условий к однородным.
16. Построение решения  краевых задач для неоднородного волнового уравнения методом Фурье
17. Метод Фурье для  эллиптического уравнения.
18. Задача о колебаниях прямоугольной мембраны.
19. Задача о колебаниях среды в параллелепипеде.
20. Краевые задачи для одномерного уравнения теплопроводности.
21. Задачи для  уравнения теплопроводности в шаре, переход к сферической системе координат.
22. Задача для неоднородного уравнения теплопроводности в шаре.
23. Задача для однородного уравнения теплопроводности в прямоугольнике.
24. Задача для неоднородного уравнения теплопроводности в прямоугольнике.
25. Цилиндрические функции. Задачи, где они возникают.
26. Уравнение Бесселя. Поведение функций Бесселя и Неймана. ФСР уравнения Бесселя.
27. Сферические функции.
28. Классические ортогональные полиномы.